离散傅立叶变换：在图像处理的广泛领域中，傅立叶变换起着非常重要的作用，包括图像的增强、图像分析、图像复原和图像压缩等。在图像数据的数字处理中常用的是二维离散傅立叶变换，他能把空间域的图像转变到频域上进行研究佣苋菀椎亓私獾酵枷窀骺占淦涤虺煞郑邢嘤Υ怼Ｔ诩扑慊鲜褂玫母盗⒁侗浠煌ǔ６际抢肷⑿问降模褂美肷⒏盗⒁侗浠坏母驹蛴校海?SPAN lang=EN-US>1）DFT的输入、输出均为离散形式的，有利于计算机处理;（2）计算机DFT存在快速算法—快速傅立叶变换。

假设对函数f(x)在N个等间隔点进行采样，得到离散化的函数 (n=1,2,…，N-1)，定义一维傅立叶正反变换对形式如下：

      n,k=0,1,…N-1

    n,k=0,1,…N-1

类似于一维傅立叶变换，二维傅立叶变换公式如下：

     u=0,1,…，M-1; v=0,1，…N-1

二维傅立叶反变换公式如下：

   u=0,1,…，M-1; v=0,1，…N-1

以上两式就形成了二维傅立叶变换对      其中x,y为空间域采样值;u,v为频率采样值;F（u,v）称为离散信号f(x,y)的频谱。

二维图像的快速傅立叶变换：图像处理的一大类运算是线性的，其输出图像是输入图像的线性组合。这类线性运算包括叠加、卷积、变换和线性滤波等。傅立叶变换在二维线性系统分析中有着广泛的应用。二维傅立叶变换利用行列可分，可以先列变换然后行变换，也可以先行变换其后列变换。这种方法可以通过进行一维傅立叶变换利用快速算法FFT来提高速度。          

离散余弦变换：离散余弦变换的变换核为余弦函数，有利于图像压缩和其他处理。他的算法是对时域数据f(x)进行延拓，使当x>N-1时，f(x)=0则F（u）= =

Re{ }则该式就变成了2N点的离散傅立叶变换。所以在作离散余弦变换时，可以把序列的长度延长为2N，然后做离散傅立叶变换，产生的结果取实部就可以得到结果。同理在做反变换时，首先在变换空间把［F（u）］做延拓。则离散余弦反变换快速算法可以由［F（u）e ］的2N点反傅立叶变换快速算法实现。

离散傅立叶变换和离散余弦变换的变换结果如下：

通过上图可以看出，经过离散傅立叶变换，频域能量集中在图像的边框。而经过离散余弦变换，变换域的能量集中在低频分量附近。导致这种结果的原因是因为在对二维图像进行DCT变换时，只对变换域低频分量进行编码，抛弃部分高频分量，减少携带的信息量，从而实现对图像的有损压缩编码。

沃尔什变换：沃尔什变换相对于傅立叶变换和离散余弦变换战胜的时间较少、存储空间小、运算速度快。因此，在对大量图像进行实时处理时，沃尔什变换更能体现出它的优势。其变换可由下式给出： 二维沃尔什变换在计算时也是先用一维的沃尔什—哈达玛变换计算得到，先是对每一列做变换再对每一行做变换。另外一种方法就是将二维的沃尔什—哈达玛变换当作一维来计算，这种方法是将数据矩阵的列依次顺序排列，这样就形成有 个元素的列阵列。然后按照一维沃尔什—哈达玛变换的方法进行计算。同一维傅立叶变换一样，二维的沃尔什变换也有自己的快速算法他的原理为：对于一个N阶的变换来说， 式中  则有 其中 。

小波变换：傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基函数。同样，小波分析是把一个信号分解成由原始小波经过移位和缩放后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数，即小波可用作表示一些函数的基函数。小波变换是一窗口大小固定不变但其形状可改变的时频局部化分析方法。小波变换在信号的高频部分，可以取得较好的时间分辨率;在信号的低频部分，可以取得较好的频率分辨率，从而能有效的从信号中提取信息。离散小波变换是非曲直对连续小波变换尺度和位移按照2的幂次进行离散化得到的，又称二进制小波变换。离散小波变换可以表示为：

       此即为DWT变换对。小波变换效果如下：

小波分析在数字图像处理中的应用：

（1）利用小波变换进行图像压缩：对于一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以利用二维小波变换对图像进行压缩，对它进行小波分解后，可得到一系列不同分辨率的图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的，高分辨率子图像上大部分点是数值都趋进于零，越是高频这种现象越明显。所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。具体的做法是设置一个阈值δ，例如把≤δ的经小波变换得到的水平(CH)、垂直(CV)和对角(CD)细节分量值细节分量值置为0，

（2）医学上应用小波变换进行信号奇异性检测与去噪：体表心电信号及其他生物医学信号多具有较强的随机性和背景噪声,而且又属于非线性、非平稳的微弱信号。人们利用各种先进的信号处理技术分析与处理这种生理电信号,希望能获得更多的、具有诊断价值的信息。WT具有优良的时频分析特性,而且还具有处理非平稳随机信号的能力,因此,WT应该能成为心电信号的一种可行有效的处理方法。

(3) 小波变换在IPTV编码中的应用：鉴于小波变换具有诸多的优点，因此也就成为了IPTV编码领域所热捧的对象。但是这种方法实现起来比较复杂，占用资源比较严重，所以只有少数编码标准提供了小波变换编码方式。MPEG-4就是其中的支持者之一。
　　MPEG-4标准的编码中使用了离散小波变换方法，这也是MPEG-4的特色之一。但由于它还存在需要持续的占用很大内存空间的问题，同时考虑到DCT已经在运动补偿视频编码方面取得了非常好的效果，因此，MPEG-4只是在进行纹理编码时采用了离散小波变换，其中的应用包括矩形纹理对象编码（例如整个图像框架）、任意形状纹理区域编码和映射到二维或三维网状对象上的纹理编码等。在进行小波编码压缩过程中，为了能得到比较好的效果，必须选择合适的小波进行变换。同时，在对图像进行多级小波变换后，变换系数在同一子带内的不同分辨率间存在一种树状结构的关系，如果能够合理地应用这种关系还可以大大的提高压缩效率。目前比较好的一种方法就是零树小波（Zero-treeWavelet）编码压缩算法，这是最先由Shapiro提出的一种针对小波的树状结构进行压缩的嵌入式编码方法。在编码过程中，把小波系数分为重要系数及非重要系数，同时应用逐次逼近量化的方法为重要系数提供了一种紧凑的多重精度表示。MPEG-4标准中的纹理编码就是采用了这种方法。

(4)医学上应用小波变换的图像增强技术：X射线图像可以说是当前临床应用最广泛的一种医学图像,如何从X射线图像获得更多的信息是提高诊断水平的一个重要方向。根据小波分析的特点,对小波分解后的不同子带进行不同的线性运算,从而使X射线照片中较模糊、对比度差的细节得到增强。并将传统的反锐化掩模与小波分析有机地结合起来,提出了一种新的算法,该算法不仅能使图像细节清晰,还能有效防止“粘连”、“振铃”效应,抑制噪声,有利于医生对疾病作出正确的判断。在精细尺度上,根据信号与噪声的WT相位在相继尺度上关联性的不同进行去噪,在大尺度上,则采用Semisoft阈值法对DWT系数进行快速缩减去噪。根据人眼视觉特性对WT系数的增益进行非线性的自适应控制。使增强处理后的X射线图像具有视觉效果佳,无伪像产生的优点。且在噪声抑制、保边沿及增强各种细节上效果良好。