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MCS\ 51单片机中计算正弦函数的一种方法 井冈山师范学院彭宣戈章 琛 摘要详细论述高速度、高精度要求下,在MCS\ 51单片机中计算正弦函数的原理、步骤和设计方法,并且给出全部程序。文中叙述的计算方法,在0~π/2之间的计算时间,且在12MHz时钟下为96μs;在π/2~2π之间则为108μs。文中给出的程序清单可直接嵌入到MCS\ 51系列单片机应用系统中。 关键词MCS\ 51单片机正弦函数计算方法 在MCS\ 51单片机的应用过程中,会遇到需要计算正弦函数的问题。众所周知,在单片机控制的应用中,首先是要求实时性,即高速度;其次是要求计算达到高精度。本文叙述的计算方法,在0~π/2之间的计算速度为1152个状态周期（12MHz时为96μs）,在(π/2)~2π之间的计算速度为1296个状态周期（12MHz时为108μs）。这种方法的计算精度较高,完全可以直接嵌入到采用MCS\ 51系列单片机的应用系统中。 一、 设计依据 1 数学原理 为实现本计算方法,先证明以下结论。 设\[x0,x0+Δx\]\[0,π/2\],则x∈\[x0,x0+Δx\],令δ=x-x0,并设： f(δ)=sinx0+\[sin(x0+Δx)-sinx0\]δ[]Δx 则有 sinx-f(δ) ≤1[]4Δxcosx0(1) 证明：y=sinx在\[ 0,π／2 \]内,也即在\[x0,x0+Δx\]内为严格凹函数,则 sinx=sin(x0+δ)≥sinx0+ \[sin(x0+Δx)-sinx0\]δ[]Δx=f(δ) 从而有： 0≤sinx-f(δ)=sin(x0+δ)-f(δ)= sin(x0+δ)-sinx0-\[sin(x0+Δx)-sinx0\]δ[]Δx= \[sin(x0+δ)-sinx0\]Δx-δ[]Δx- \[sin(x0+Δx)-sin(x0+δ)\]δ[]Δx≤ 2sinδ[]2cosx0+δ[]2Δx-δ[]Δx≤ 2Δx-δ[]Δx δ[]2cosx0=δ(Δx-δ)[]Δxcosx0≤Δx[]4cosx0 基于以上原理,将\[ 0,π／2 \]分成128等分,事先计算出129个等分点的函数值,制成函数表编进程序中,供查表用。这样,对于任意处于0~π/2之间的x,它必定落在某两个相邻的等分点的区间上,可从上述函数表中查出该相邻的等分点的函数值,并算出余量δ=x-x0。用f(δ)的值作为sinx 的近似值。由式(1)可知,这时的误差小于π[]2×128×1[]4×cosx0≈0.00307cosx0;而当x0=0时,因f(δ)=δsinΔx[]Δx≈δ·1=x-0=x,从而limn→∞f(δ)-sinx[]x3≈limn→∞x-sinx[]x3=limn→∞1-cosx[]3x2=limn→∞sinx[]6x=1[]6,故f(δ)=sinx+O(x3)。所以,这时的实际误差约为 δ3≤(Δx)3=π[]2563≈0.0000018,完全满足要求。 为了实现运算的高速度,同时又能保证计算的高精度,本算法采用定点的16位二进制计算。 2. 算法原理 根据式（1）,对于每个x,都必落在某个闭区间\[x0,x0+Δx\]内,令M＝sinx0,N＝sin（x0+Δx),又δ=x-x0,所以可用下面的公式具体实现算法,即 sinx=M+\[（N－M）/ 0080H\]δ= M+（N－M）·δ·2-7= M+2（N－M）·δ·2-8= {2M+2\[（2N－2M）·δ·2-8\]+1}/2(2) 其中加1为舍入处理。 二、 设计方法 1. 设定数据格式 采用定点的16位二进制计算,其格式是：在程序中参与运算的实数为带符号的实数,即D15位为符号位,从D14位开始的权为1,以后各位的权依次为0.5,0.25,0.125,…,1/214。负数以补码的形式表示。 在程序中参与运算的角度值同样为16位带符号的定点格式,即D15位为符号位,从D14位开始的权为90°,以后各位的权依次为45°,22.5°,11.25°,…,90°/215。负数以补码的形式表示。 2. 制成正弦函数表 正弦函数表的数据格式和前面介绍的一样,只是不需要符号位。16位数据全部用作表格数据,即D15位的权为1,从D14位开始,以后各位的权依次为0.5,0.25,0.125,…,1/215。这样多1个表示位,又进一步提高了计算精度。 从式（2）中可以看出,每次查表取值都要乘以2。因此,为了节约时间,提高计算精度（多1个表示位）和运算速度（省去2个左移指令）,实现正弦函数表的数据都是sinx的2倍。在生成时干脆形成2倍sinx的正弦函数表。本函数表利用Basic语言生成,其程序编制如下: DIM x(129) FOR i=1 TO 128 n$="" m$="" x(i)=3.1415926535# / 256 * i y=SIN(x(i)) j=y z=0.5 FOR k=1 TO 15 IF j >= z THEN j=j - z m$="1" ELSE m$="0" END IF n$=n$ + m$ z=z / 2 NEXT k PRINT "x"; i; "="; x(i), y, n$ NEXT i END 3. 进行余量分割 前述每个函数占2字节,我们在\[0,π/2\]间分成128等分,含129个数据。因此,所对应的函数值占129×2=258字节。显然,这时Δx=90°/128,化成二进制用十六进制格式表示,其值为0080H。 那么,对于任意的x<90°,有x=x+δ（其中δ为余量）。用16位二进制数表示后,将其分割为x和δ两部分：x为前9位二进制值;δ为x的后7位二进制值（用H表示）。由于MCS\ 51单片机为8位机,故实际运算时按双字节分开运算。即只要将低8位左移一次,放入标志位C,然后再对低8位屏蔽,这样就完成了余量分割。 x的高8位,将x向右移1位为本身数据,再右移1位就形成查表偶地址值（用x表示）。这里,当角度为最大90°时,x=0100H。 4. 完成角度转换 正弦函数的角度有4个象限,上面描述的角度数据范围为-π~π的角度值。但实际计算的角度值在0~π/2之间,因此就有一个角度转换的问题。 首先,判断次高位是否为1（即90°）：是,则角度求补,再去掉最高位;否则,直接去掉最高位。这样,就将-π~π的角度值变换到0~π/2的角度值。然后,用这个变换后的角度值去进行运算,结果再进行一次符号处理和符号变换,就可成为原角度的函数值。即当原角度处于第1和2象限时,函数值为正,不必变换;当原角度处于第3和4象限时,函数值为负,进行变换。 三、 程序编制 本程序的入口参数在R6和R7：R6为高8位,R7为低8位;出口参数在R5和R6：R5为高8位,R6为低8位。 〖2〗ORG〖〗1000〖1〗STAR:〖〗MOV〖〗A,R6〖2〗PUSH〖〗ACC〖2〗JNB〖〗ACC.6,L001〖〗; 角度变换〖2〗CPL〖〗A〖2〗MOV〖〗R6,A〖2〗MOV〖〗A,R7〖2〗CPL〖〗A〖2〗ADD〖〗A,#01H〖2〗MOV〖〗R7,A〖2〗CLR〖〗A〖2〗ADDC〖〗A,R6〖1〗L001:〖〗CLR〖〗ACC.7〖〗; 余量分割〖2〗MOV〖〗R6,A〖2〗MOV〖〗A,R7〖2〗RLC〖〗A〖2〗ANL〖〗R7,#7FH〖2〗MOV〖〗A,R6〖2〗RLC〖〗A〖2〗CLR〖〗C〖2〗RLC〖〗A〖2〗MOV〖〗DPTR,#BIAO〖2〗JNC〖〗L002〖2〗INC〖〗DPH〖1〗L002:〖〗MOV〖〗R0,A〖〗; 表格指针形成〖2〗MOVC〖〗A,@A+DPTR〖2〗MOV〖〗R2,A〖2〗INC〖〗R0〖2〗MOV〖〗A,R0〖2〗MOVC〖〗A,@A+DPTR〖2〗MOV〖〗R3,A〖2〗INC〖〗R0〖2〗MOV〖〗A,R0〖2〗MOVC〖〗A,@A+DPTR〖2〗MOV〖〗R4,A〖2〗INC〖〗R0〖2〗MOV〖〗A,R0〖2〗MOVC〖〗A,@A+DPTR〖2〗MOV〖〗R5,A〖2〗CLR〖〗C〖2〗SUBB〖〗A,R3〖〗; M-N〖2〗MOV〖〗R5,A〖2〗MOV〖〗A,R4〖2〗SUBB〖〗A,R2〖2〗MOV〖〗R4,A〖2〗MOV〖〗A,R5〖2〗CLR〖〗C〖2〗RLC〖〗A〖2〗MOV〖〗R5,A〖2〗MOV〖〗A,R4〖2〗RLC〖〗A〖2〗MOV〖〗R4,A〖1〗CHEN:〖〗MOV〖〗A,R5〖〗; *δ〖2〗MOV〖〗B,R7〖2〗MUL〖〗AB〖2〗XCH〖〗A,R7〖2〗MOV〖〗R5,B〖2〗MOV〖〗B,R4〖2〗MUL〖〗AB〖2〗ADD〖〗A,R5〖2〗MOV〖〗R6,A〖2〗CLR〖〗A〖2〗MOV〖〗ACC.0,C〖2〗MOV〖〗C,F0〖2〗ADDC〖〗A,B〖2〗INC〖〗R6〖〗; 舍入处理〖2〗ADDC〖〗A,#00H〖2〗MOV〖〗R5,A〖2〗MOV〖〗A,R3〖2〗ADD〖〗A,R6〖2〗MOV〖〗R6,A〖2〗MOV〖〗A,R2〖2〗ADDC〖〗A,R5〖2〗MOV〖〗R5,A〖2〗CLR〖〗C〖2〗RRC〖〗A〖2〗MOV〖〗R5,A〖2〗MOV〖〗A,R6〖2〗RRC〖〗A〖2〗MOV〖〗R6,A〖2〗POP〖〗A〖2〗JNB〖〗ACC.7,L003〖〗;符号处理〖2〗MOV〖〗A,R5〖2〗SETB〖〗ACC.7〖2〗MOV〖〗R5,A〖1〗L003:〖〗RET〖2〗ORG〖〗1200〖1〗BIAO:〖〗DW〖〗0000H,0192H,0324H〖〗;表格数据〖2〗DW〖〗04B6H,0647H,07D9H〖2〗DW〖〗096AH,0AFBH,0C8BH〖2〗DW〖〗0E1BH,0FABH,1139H〖2〗DW〖〗12C8H,1455H,15E2H〖2〗DW〖〗176DH,18F8H,1A82H〖2〗DW〖〗1C0BH,1D93H,1F19H〖2〗DW〖〗209FH,2223H,23A6H〖2〗DW〖〗2528H,26A8H,2826H〖2〗DW〖〗29A3H,2B1FH,2C98H〖2〗DW〖〗2E11H,2F87H,30FBH〖2〗DW〖〗326EH,33DEH,354DH〖2〗DW〖〗36BAH,3824H,398CH〖2〗DW〖〗3AF2H,3C56H,3DB8H〖2〗DW〖〗3F17H,4073H,41CEH〖2〗DW〖〗4325H,447AH,45CDH〖2〗DW〖〗471CH,4869H,49B4H〖2〗DW〖〗4AFBH,4C3FH,4D81H〖2〗DW〖〗4EBFH,4FFBH,5133H〖2〗DW〖〗5269H,539BH,54CAH〖2〗DW〖〗55F5H,571DH,5842H〖2〗DW〖〗5964H,5A82H,5B9DH〖2〗DW〖〗5CB4H,5DC7H,5ED7H〖2〗DW〖〗5FE3H,60ECH,61F1H〖2〗DW〖〗62F2H,63EFH,64E8H〖2〗DW〖〗65DDH,66CFH,67BDH〖2〗DW〖〗68A6H,698CH,6A3DH〖2〗DW〖〗6B4AH,6C24H,6CF9H〖2〗DW〖〗6DCAH,6E96H,6F5FH〖2〗DW〖〗7023H,70E2H,719EH〖2〗DW〖〗7255H,7307H,73B5H〖2〗DW〖〗745FH,7504H,75A5H〖2〗DW〖〗7641H,76D9H,776CH〖2〗DW〖〗77FAH,7884H,7909H〖2〗DW〖〗798AH,7A05H,7A7DH〖2〗DW〖〗7AEFH,7B5DH,7BC5H〖2〗DW〖〗7C29H,7C89H,7CC3H〖2〗DW〖〗7D39H,7D8AH,7DD6H〖2〗DW〖〗7E1DH,7E5FH,7E9DH〖2〗DW〖〗7ED5H,7F09H,7F38H〖2〗DW〖〗7F62H,7F87H,7FA7H〖2〗DW〖〗7FC2H,7FD8H,7FE9H〖2〗DW〖〗7FF6H,7FFDH,7FFFH〖2〗END四、 结果分析 实际应用结果如表1所示,完全符合实际的需要。 表1 角度值〖〗定点角度值〖〗浮点函数值〖〗定点函数值〖〗实际结果〖〗误差2.0〖〗016CH〖〗003489950〖〗023CH〖〗023CH4.0〖〗02D8H〖〗006975650〖〗0476H〖〗0476H8.0〖〗05B0H〖〗013917310〖〗08E8H〖〗08E7H〖〗1H22.0〖〗0FA5H〖〗037460660〖〗17FAH〖〗17F9H〖〗1H25.0〖〗11C7H〖〗042261830〖〗1B0CH〖〗1B0CH30.0〖〗1555H〖〗050000000〖〗2000H〖〗1FFFH〖〗1H42.0〖〗1DDEH〖〗066913060〖〗2AD3H〖〗2AD3H45.0〖〗2000H〖〗070710680〖〗2D41H〖〗2D41H46.0〖〗20B6H〖〗071933980〖〗2E0AH〖〗2E0AH60.0〖〗2AABH〖〗086602540〖〗376DH〖〗376DH72.0〖〗3333H〖〗095105650〖〗3CDEH〖〗3CDEH75.0〖〗3555H〖〗096592580〖〗3DD1H〖〗3DD1H84.0〖〗3BBCH〖〗099452190〖〗3FA6H〖〗3FA6H88.0〖〗3E94H〖〗099939080〖〗3FF6H〖〗3FF6H90.0〖〗4000H〖〗1.00000000〖〗4000H〖〗4000H可见,结果只差1个二进制位,精度已达1/214。该程序模块可直接引用。MES 参考文献 1何立民单片机应用系统设计. 北京:北京航空航天大学出版社,1995 2彭宣戈软麻乳化液率自动控制系统. 微计算机信息,1997(1):39
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